高中数学知识框架思维导图(2019年3月21日整理,14页).pdf

返回 相关 举报
高中数学知识框架思维导图(2019年3月21日整理,14页).pdf_第1页
第1页 / 共14页
高中数学知识框架思维导图(2019年3月21日整理,14页).pdf_第2页
第2页 / 共14页
高中数学知识框架思维导图(2019年3月21日整理,14页).pdf_第3页
第3页 / 共14页
高中数学知识框架思维导图(2019年3月21日整理,14页).pdf_第4页
第4页 / 共14页
高中数学知识框架思维导图(2019年3月21日整理,14页).pdf_第5页
第5页 / 共14页
高中数学知识框架思维导图(2019年3月21日整理,14页).pdf_第6页
第6页 / 共14页
亲,该文档总共14页,到这儿已超出免费预览范围,如果喜欢就下载吧!
资源描述
1 高考数学 知识框架 思维导图 ( 2019.3.21 整理 , 14 页 ) 陈永清 第一部分 集合、 算法语言 、 简易逻辑、 复数、推理与证明、排列组合 概念 元 素与 集合之间的关系 : ∈, ∉ 性质 确定性、互异性、无序性 集合 集合的表示 列举法、描述法、图示法 集合间的关系 子集、相等、真子集: ⊆ , ⊇ , = , ⫋, ⫌ 运算 :交集 (𝐴∩𝐵)、并集 (𝐴∪𝐵)、补集 (𝑈𝐴) 集合的分类 有限集、无限集、空集( ) 含有 𝑛个元素的集合 𝐴的子集个数是 2 𝑛,真子 集个数是 2𝑛 −1,非空子集个数为 2𝑛 −1, 非空真子集的个数是 2𝑛 −2. (𝐴, ) 数轴、 Venn 图、函数图象 求解 ( 两个 ) 集合中的参数值 , 注意检验 : 1.是否违反互异性; 2.是否违反其他条件 包含关系的各种等价表示: ① 𝐴 𝐵 = 𝐵 𝐴 ⊆ 𝐵. ② 𝐴 𝐵 = 𝐴 𝐴 ⊆ 𝐵. ③ 𝐴 (𝑈𝐵) =  𝐴 ⊆ 𝐵. ④ (𝑈𝐴) 𝐵 = 𝑈 𝐴 ⊆ 𝐵. ⑤ 𝑈𝐵 ⊆ 𝑈𝐴 𝐴 ⊆ 𝐵. 含参数的集合 𝐴满足 𝐴 ⊆ 𝐵或 𝐴 𝐵 = 等情形时 , 要分 𝐴 = 与 𝐴 ≠ 两种情况讨论 . 概括性、逻辑性、有穷性、不唯一性、普遍性 顺序结构 条件结构 循环结构 算法语言 算法的特征 程序框图 基本算法语言 算法案例 1.𝑘进制数化为十进制数 : 𝑎𝑛𝑎𝑛−1 ⋯𝑎1𝑎0(𝑘) = 𝑎𝑛𝑘𝑛 +𝑎𝑛−1𝑘𝑛−1 +⋯+𝑎1𝑘 +𝑎0𝑘0. 2.十进制数化为 𝑘进制数 :除 𝑘取余法. 3.𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥𝑛 +𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 +⋯+𝑎1𝑥 +𝑎0 = ⋯ = (⋯((𝑎𝑛𝑥 +𝑎𝑛−1)𝑥 +𝑎𝑛−2)𝑥 +⋯+𝑎1)𝑥 +𝑎0, 𝑣0 = 𝑎𝑛, 𝑣𝑘 = 𝑣𝑘−1𝑥 +𝑎𝑛−𝑘(𝑘 = 1, 2, ⋯, 𝑛).由里向外逐层计算 𝑣1, 𝑣2, ⋯, 𝑣𝑛,即可得到 𝑣𝑛 = 𝑓(𝑥). 会执行 、 会补充 辗转相除法、更相减损术(求最大公约数); 秦九韶算法(求多项式函数值);进位制( k 进制与十进制互化) 若 𝑝 ⇒ 𝑞, 则 𝑝是 𝑞的充分条件 , 𝑞是 𝑝的必要条件 关系 充分条件、必要条件、充要条件 一真便真 一假则假 量词 简易逻辑 命题 真假相对 全称命题: ∀x∈ M, p(x) 特称命题: ∃x0∈ M, p(x0) 否定 :  p   q 否定:  p   q  p:否定 p 的结论 命题的否定 改量词,否结论 复合命题 或: p  q 且: p  q 非:  p 全称量词 存在量词 前充分、后必要 小充分、大必要 小范围推大范围 原命题:若 p 则 q 逆命题:若 q 则 p 否命题:若 p 则 q 逆命题:若 q 则 p 互逆 互逆 互 否 互 否 互 为 逆 否 等价关系 2 两个原理 分类加法计算原理和分步乘法计算原理 排列与组合 排列数: 𝐴𝑛𝑚 = 𝑛(𝑛 −1)⋯(𝑛 −𝑚 +1) = 𝑛!(𝑛−𝑚)! 组合数: Cmn= 𝑛!𝑚!(𝑛−𝑚)! 性质 C m n= C n- m n C m n+ 1= Cmn+ Cm- 1n 二项式定理 通项公式 Tr+ 1= Crnan- rbr 首末两端“等距离”两项的二项式系数相等 C0n+ C2n+ C4n„= C1n+ C3n+ C5n„= 2n- 1 C0n+ C1n+„+ Cnn= 2n 二项式系数性质 (𝑎 +𝑏)𝑛 = 𝐶𝑛0𝑎𝑛 +𝐶𝑛1𝑎𝑛−1𝑏+⋯+𝐶𝑛𝑘𝑎𝑛−𝑘𝑏𝑘 +⋯+𝐶𝑛𝑛−1𝑎1𝑏𝑛−1 +𝐶𝑛𝑛𝑏𝑛(𝑛∈ N*). 二项式系数最大项、系数最大项 应用 捆绑法 、 插空法 、优先法、隔板法、间接法、建模法、分类法 、树状图 计算原理 求三项式 (𝑎 +𝑏 +𝑐)𝑛的指定项 : 利用多项式乘法法则及组合思想求解 赋值法 系数和、二项式系数和 复 数 概念 虚数单位 i(满足 i2 = −1)、复数 𝑎 +𝑏i、实部 𝑎、虚部 𝑏、实数( 𝑏 = 0)、虚数( 𝑏 ≠ 0)、 纯虚数( 𝑎 = 0,𝑏 ≠ 0)、实轴( 𝑥轴)、虚轴( 𝑦轴 )、模 |𝑧|、复数集 B; 共轭复数( 𝑧 = 𝑎 +𝑏i、 𝑧̅ = 𝑎 −𝑏i); 复数相等 的充要条件: 𝑎 +𝑏i= 𝑐 +𝑑i 𝑎 = 𝑐且 𝑏 = 𝑑(𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑∈ R) 运算 ① 加法: (𝑎 +𝑏i)+ (𝑐 +𝑑i)= (𝑎+ c)+ (b+ d)i; ② 减法: (𝑎 +𝑏i)- (𝑐 +𝑑i)= (𝑎- c)+ (b- d)i; ③ 乘法: (𝑎 +𝑏i)·( 𝑐 +𝑑i)= (𝑎c- bd)+ (𝑎d+ bc)i; ④ 除法: 𝑎+𝑏i𝑐+𝑑i = (𝑎+𝑏i)(𝑐−𝑑i)(𝑐+𝑑i)(𝑐−𝑑i) = 𝑎𝑐+𝑏𝑑𝑐2+𝑑2 + 𝑏𝑐−𝑎𝑑𝑐2+𝑑2 i. 几何意义 复数 𝑧 = 𝑎 +𝑏i、复平面内点 Z(𝑎,𝑏)、向量 𝑂𝑍⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑎,𝑏)的一一对应关系; 复数模的几何意义: |𝑧| = |𝑎 +𝑏i| = √𝑎2 +𝑏2 = |𝑂𝑍⃗⃗⃗⃗⃗ | ① (1±i)2 = ±2i; ② 1+i1−i = i; 1−i1+i = −i; ③ 𝑎 +𝑏i = i(𝑏 −𝑎i), 如 3+4i4−3i = i(4−3i)4−3i = i; ④ i𝑛的周期性 . 合情推理 演绎推理 归纳 类比 三段论 大前提、小前提、结论 直接证明 综合法 分析法 由因导果 执果索因 间接证明 反证法 推理 证明 推理与证明 猜想 1.验证 𝑛 = 𝑛0(初始值)命题成立; 2.若 𝑛 = 𝑘(𝑘 ≥ 𝑛0)时命题成立 , 证明 𝑛 = 𝑘 +1时命题也成立 . 反设、归谬、结论 数学归纳法 3 第二部分 函数、导数及微积分 对数的性质与运算性质 1.对数的性质 : ① log𝑎1 = 0; ② log𝑎𝑎 = 1; ③ 𝑎log𝑎𝑁 = 𝑁; ④ log𝑎𝑎𝑏 = 𝑏(𝑎0 且 𝑎 ≠1); ⑤ 零和负数没有对数. 2.对数的运算性质 (𝑎0,且 𝑎 ≠1, 𝑀0, 𝑁0): ① log𝑎(𝑀 ∙𝑁) = log𝑎𝑀 +log𝑎𝑁; ② log𝑎 𝑀𝑁 = log𝑎𝑀 −log𝑎𝑁;【 log𝑎 𝑀𝑁 = log𝑎 .𝑁𝑀/−1 = −log𝑎 𝑁𝑀】 ③ log𝑎𝑀𝑛 = 𝑛log𝑎𝑀(n∈ R).【 log𝑎 1𝑀 = −log𝑎𝑀】 3.对数的重要公式 (𝑎, c 均大于零且不等于 1, 𝑛 ≠ 0): 换底公式: log𝑎𝑏 = log𝑐𝑏log 𝑐𝑎 ;推论: ① log𝑎𝑛 𝑏𝑚 = 𝑚𝑛 log𝑎𝑏; ② log𝑎𝑛 𝑏𝑛 = log𝑎𝑏; ③ log𝑎𝑏 = 1log 𝑏𝑎 . 定义 表示 解析法 列表法 三要素 图象法 定义域 对应关系 值域 性质 奇偶性 周期性 对称性 单调性 1.函数在某个区间递增 (或减 )与单调区间是某个区间的含义不同; 2.证明单调性:作差(商)、导数法; 3.复合函数的单调性 ; 4.快速判断常见函数的单调性(如,取倒数、开方根、乘负数) 二 次函数、基本不等式、双勾 函数、三角函 数有界性、数形结合、 单调性、 导数 . 指数函数、对数函数、 幂函数 、三角函数 赋值法、典型的函数 模型 零点 建立函数模型 使解析式有意义 或有实际意义 函数 求解析式:换元法、代入法、凑配法、构造方程组法 注意应用函数的单调性求值域 f (x+T)= f (T);两种对称性与周期性的“知二求一” 复合函数的单调性:同增异减 一次、二次函数、反比例函数 、双勾函数 图象、性质 和 应用 1.f (a+x)= f (b-x),对称轴为 𝑥 = 𝑎+𝑏2 2.f (a+x)+f (b-x)=c,对称中心为 (𝑎+𝑏2 ,𝑐2) 分段探究,整体考察 平移变换: 𝑦 = 𝑓(𝑥) → 𝑦 = 𝑓(𝑥 ±𝑎), 𝑦 = 𝑓(𝑥) → 𝑦 = 𝑓(𝑥)±𝑏, 𝑎,𝑏 0 对称变换: 𝑦 = 𝑓(𝑥) → 𝑦 = −𝑓(𝑥), 𝑦 = 𝑓(𝑥) → 𝑦 = 𝑓(−𝑥), 𝑦 = 𝑓(𝑥) → 𝑦 = −𝑓(−𝑥) 翻折变换: 𝑦 = 𝑓(𝑥) → 𝑦 = |𝑓(𝑥)|, 𝑦 = 𝑓(𝑥) → 𝑦 = 𝑓(|𝑥|) 伸缩变换: 𝑦 = 𝑓(𝑥) → 𝑦 = 𝐴𝑓(𝑥), 𝑦 = 𝑓(𝑥) → 𝑦 = 𝑓(𝜔𝑥) 函数图象 及其变换 𝑓:𝐴 → 𝐵:一对一,或多对一 映射 基本初等函数 抽象函数 复合 函数 函数与方程 函数的应用 分段函数 利用对称性 求函数 零点的和,或求两 个函数 图象 交点横 坐标、纵坐标之和 . 求根法、 二分法、图象法、 二次 及三次方程 根的分布 零点存在性定理 作图与识图:定义域、值域、极值;奇偶性、单调性、周期性;关键点,关键线 具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称; 奇函数 𝑓(𝑥)在 x= 0 处有定义 → f (0)= 0; 偶函数 𝑓(𝑥)= 𝑓(|𝑥|) 最值 4 第三 部分 三角函数与平面向量 和角、差角公式, 二倍角公式, 降幂公式 , 辅助角公式 ⑴ sin(𝛼 ±𝛽) = sin𝛼cos𝛽 ±cos𝛼sin𝛽;⑵ cos(𝛼 ±𝛽) = cos𝛼cos𝛽 ∓sin𝛼sin𝛽;⑶ tan(𝛼 ±𝛽) = tan𝛼±tan𝛽1∓tan𝛼tan𝛽. ⑴ sin2𝛼 = 2sin𝛼cos𝛼; ⑵ cos2𝛼 = cos2𝛼 −sin2𝛼 = 2cos2𝛼 −1 = 1−2sin2𝛼; ⑶ tan2𝛼 = 2tan𝛼1−tan2𝛼. ⑴ sin𝛼cos𝛼 = 12sin2𝛼;⑵ cos2α = 1+cos2α2 ; ⑶ sin2α = 1−cos2α2 . ⑴ 𝑎sin𝑥 ±𝑏cos𝑥 = √𝑎2 +𝑏2sin(𝑥 ±𝜑), 其中 𝑎, 𝑏 0. 其中辅助角 𝜑是方程 tan𝜑 = 𝑏𝑎在 (0, 𝜋2)内的解 . 三角函数 同角三角函数的关系 终边相同的角: *𝛽|𝛽 = 𝛼 +𝑘 ∙360°, 𝑘 ∈ 𝐙+ 三角函数线 同角三角函数的关系 : sin2𝛼 +cos2𝛼 = 1, sin𝛼cos𝛼= tanα 诱导公式:奇变偶不变,符号看象限 和角、差角公式,辅助角公式( 𝑎sin𝑥 ±𝑏cos𝑥) 二倍角公式,降幂公式( cos2α = 1+cos2α2 , sin2α = 1−cos2α2 ) 公式的变形、逆用、 “ 1”的替换 化简、求值、 证明(恒等变形) 0 𝑎−𝑏ln𝑎−ln𝑏 √𝑎𝑏 ⟺ 2.𝑡−1𝑡+1/ ≤ ln𝑡 ≤ 12.𝑡− 1𝑡/(𝑡 ≥ 1). 1 𝑒 ② 1 𝑂 𝑥 𝑦 𝑦 = 𝑥 𝑒𝑥 −1𝑒 ① −1 𝑂 𝑥 𝑦 𝑦 = 𝑥𝑒𝑥 𝑒 ③ 1 𝑂 𝑥 𝑦 𝑦 = 𝑒𝑥𝑥 ④ 1 𝑒 𝑂 𝑥 𝑦 𝑦 = 𝑥ln𝑥 −1𝑒 ⑤ 𝑒 𝑂 𝑥 𝑦 𝑦 = ln𝑥 𝑥 1 𝑒 𝑒 𝑒 ⑥ 1 𝑂 𝑥 𝑦 𝑦 = 𝑥ln𝑥 5 三角函数的 图象与性质 定义域 奇偶性 单调性 周期性 最值 对称轴(正切函数除外)经过函数图象 的最高(或低)点且垂直 x 轴的直线, 对称中心是正余弦函数图象的零点,正 切函数的对称中心为 (𝑘𝜋2 , 0)( k∈ Z) . 正弦函数 y= sin x = 余弦函数 y= cos x 正切函数 y= tan x y= Asin(x+ )+ b ①图象 可由正弦曲线经过平移、伸缩得到,但要注意先平移后伸缩与先伸缩后平移不同; ②图象也可以用五点作图法; 研究 𝜔的取值范围问题,可根据用五点作图法的图象分析; ③ 最小正周期 𝑇 = 2𝜋|𝜔|;(带绝对值的三角函数的周期是否减半,需视具体函数而言) ④用整体代换求单调区间(注意 的符号); 给定区间上的单调性可根据极值点回答; ⑤ 用整体代换求对称轴 𝑥 = 𝑘𝜋+ 1 2𝜋−𝜑 𝜔 ,对称中心为 ( 𝑘𝜋−𝜑 𝜔 , b)( k∈ Z) ; ⑥若 y= Asin(x+ )具有奇偶性,则 𝜑 = 𝑘𝜋或 𝜑 = 𝑘𝜋 + 𝜋2(二者必居其一) . 值域 图象( 五点作图法 ) 对称性 平面向量 概念 线性 运算 平面向量基本定理: 𝑎 = 𝜆1𝑒 1 +𝜆2𝑒 2, 𝑒 1、 𝑒 2不共线 加、减、数乘 几何意义 坐标表示及运算 数量积 𝑎 ∙𝑏⃗ = |𝑎 ||𝑏⃗ |cosθ =x1x2+ y1y2 几何意义 模 共线与垂直 共线(平行) 垂直 a→ ∥ b→  b→ =  a→ x1y2- x2y1=0 a→ ⊥ b→  a→ · b→ = 0 x1x2+ y1y2=0 投影 b→ 在 a→ 方向上的投影为 | b→ |cos= 𝑎⃗ ∙𝑏⃗ |𝑎⃗ | 设 a→ 与 b→ 夹角 ,则 cos= 𝑎⃗ ∙𝑏⃗ |𝑎⃗ ||𝑏⃗ | | a→ |= (x2- x1)2+ (y2- y1)2 夹角公式 三角形中线的向量表示: ∆𝐴𝐵𝐶中 𝐵𝐶边的中点为 𝐷 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ 两个常用小结论 已知 𝑂𝑃1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑂𝑃2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线 ,若 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝜆𝑂𝑃1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−𝜆)𝑂𝑃2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 则 𝑃1, 𝑃, 𝑃2三点共线 等和线: 已知 𝑂𝑃 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑂𝑃2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线 ,若 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑥𝑂𝑃1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑦𝑂𝑃2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑥 +𝑦 = 𝑚 ,设 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑚𝑂𝑃1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑚𝑂𝑃2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , (则 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑥𝑚𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑦𝑚𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑥𝑚 + 𝑦𝑚 = 1), 则 𝐴, 𝑃, 𝐵三点共线 .此时直线 𝐴𝐵也称为等和线 . 极化恒等式: 𝑎 ∙𝑏⃗ = (𝑎⃗ +𝑏⃗ ) 2−(𝑎⃗ −𝑏⃗ )2 4 . 奔驰定理: 设 𝑃为 ∆𝐴𝐵𝐶内一点 , 则 𝑆∆𝐵𝑃𝐶𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑆∆𝐴𝑃𝐶𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑆∆𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ . (可推广到四面体中) 解决向量问题的常用方法:基底法,坐标法,平方法,构造法 |𝑎 −𝜆𝑏⃗ |(𝜆 ∈ 𝐑)的几何意义 表示 𝑎 , 𝑏⃗ 共起点时 向量 𝑎 的终点到 向量 𝑏⃗ 所在直线上的点的距离 . 解三角形 余弦定理: 𝑎2 = 𝑏2 +𝑐2 −2𝑏𝑐cos𝐴, cos𝐴 = 𝑏2+𝑐2−𝑎22𝑏𝑐 正弦定理: 𝑎sin𝐴 = 𝑏sin𝐵 = 𝑐sin𝐶 = 2𝑅 应用:解三角形,解的个数的讨论 𝑆∆= 12ah= 12absinC= p(p- a)(p- b)(p- c)= 𝑎𝑏𝑐4𝑅 = 12(𝑎 +𝑏 +𝑐)𝑟 = 12|𝑥2𝑦1 −𝑥1𝑦2|,其中 R、 r 分别为外接圆、内切圆半径, p= 𝑎+𝑏+𝑐2 , 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑥1,𝑦1)、 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑥2,𝑦2).(如何求 R, r?) sin2𝐴 = sin2𝐵 +sin2𝐶 −2sin𝐵sin𝐶cos𝐴 面积 实际应用 方法:三角变换、均值不等式 6 第四 部分 数列与不等式 给出递推关系 𝑎𝑛+1 = 𝑓(𝑎𝑛),或 𝑆𝑛 = 𝑓(𝑎𝑛),或 𝑎𝑛 = 𝑓(𝑆𝑛),求通项公式 𝑎𝑛问题 ⑴混合型 如果给出的是含 𝑎𝑛, 𝑆𝑛的混合关系式,则可利用 𝑎𝑛 = 𝑆𝑛 −𝑆𝑛−1,将混合关系式统一为 𝑎𝑛+1 = 𝑓(𝑎𝑛), 或将混合关系式统一为 𝑆𝑛+1 = g(𝑆𝑛)(此时也就考虑先求 𝑆𝑛,再求 𝑎𝑛). 如,①已知 𝑎1 = −1,且 𝑎𝑛+1 = 𝑆𝑛𝑆𝑛+1,求 𝑆𝑛.②已知 𝑎1 = 1,且 𝑆𝑛 = 𝑛+23 𝑎𝑛,求 𝑎𝑛. 【 对使用 变量替换、两式相减 (除 )得到的结论,要注意 𝑛的适用范围 】 ⑵提示型 如果是证明数列 *g(𝑎𝑛)+为等差数列或等比数列,比较简单,按等差或等比的定义去处理即可;有时是 直 接 要求 求 数列 *g(𝑎𝑛)+的通项公式,那么则往往意味着 *g(𝑎𝑛)+为等差数列或等比数列 或其他特殊数列, 这样就可以直接去探索 g(𝑎𝑛+1)与 g(𝑎𝑛)的递推关系 . ⑶主动型 如果直接要求通项公式 𝑎𝑛,那么就需要自己主动朝等差数列或等比数列转化,即会自己构造新的数列 *g(𝑎𝑛)+,使之为等差数列或等比数列,这就需要我们平时积累对 𝑎𝑛+1 = 𝑓(𝑎𝑛)的变形经验 . 如果给出的是关于 𝑎𝑛+2, 𝑎𝑛+1, 𝑎𝑛的 三项之间 递推关系 , 则应先转化为关于 𝑎𝑛+1, 𝑎𝑛的两项之间的递推关系 . 概念 数列 表示 等差数列与等比数列性质的类比 通项公式、递推公式 图象法 列表法 通项公式 求和公式 性质 判定 an= a1+ (n- 1)d an= am+ (n- m)d an= a1qn- 1 an= amqn- m an+ am= ap+ ar anam= apar 前 n 项 和 𝑆𝑛 = 𝑛(𝑎1+𝑎𝑛)2 前 n 项 积 (an> 0) Tn= (a1an)n 常见递推类型及方法 累加法、或化常数列 累乘法、或化常数列 构造等比数列 {an+ 𝑑𝑞−1} 构造等差数列 ① an+ 1- an= f (n) ② an + 1a n = f (n) ③ an+ 1= 𝑞an+ 𝑑 ⑤ pan+ 1an= an- an+ 1 化为 𝑎𝑛+1𝑞𝑛+1 = 𝑝𝑞 ∙ 𝑎𝑛𝑞𝑛+ 1𝑞转为 ③ ④ an + 1= pan+ qn 等比数列 an≠ 0, q≠ 0 Sn=   na1, q= 1 a1(1- qn) 1- q , q≠ 1 公式法:应用等差、等比数列的前 n 项和公式 分组求和法 倒序相加法 裂项求和法 :𝑎−𝑏𝑎𝑏 = 1𝑏 − 1𝑎 错位相加法 :𝑎𝑛 = (𝑎𝑛+𝑏)𝑞𝑛 → 𝑆𝑛 = (𝐴𝑛+𝐵)𝑞𝑛 −𝐵 常见求和方法 数列是特殊的函数、增减性、周期性 1. 2𝑘(2𝑘−1)(2𝑘+1−1) = 12𝑘−1 − 12𝑘+1−1 2. 𝑛+1𝑛2(𝑛+2)2 = 14( 1𝑛2 − 1(𝑛+2)2) 3. (−1)𝑛∙4𝑛(2𝑛−1)(2𝑛+1) = (−1)𝑛( 12𝑛−1 + 12𝑛+1). 𝑎𝑛与 𝑆𝑛的关系 𝑎𝑛 = {𝑆1 , 𝑛 = 1,𝑆 𝑛 −𝑆𝑛−1, 𝑛 ≥ 2. 解析法: an= f (n) 𝑆𝑛= 𝑛𝑎1 + 𝑛(𝑛−1)2 𝑑 等差数列 𝑆𝑚,𝑆2𝑚 −𝑆𝑚,𝑆3𝑚 −𝑆2𝑚, „,成等差数列 𝑆𝑚,𝑆2𝑚 −𝑆𝑚,𝑆3𝑚 −𝑆2𝑚, „,成等比数列 求和型不等式的证明,如 𝑎1 +𝑎2 +⋯+𝑎𝑛 0), 𝑥𝑓′(𝑥) = 𝑎 − 𝑥(𝑥+1)2。 由于 𝑓′(𝑥)与 𝑥𝑓′(𝑥)的符号是一致的 , 所以可以 先 讨论 𝑥𝑓′(𝑥)的符号 ,讨论标准同( 1) 。 在确定 𝑓′(𝑥) ≥ 0,及 𝑓′(𝑥) ≤ 0以后,要想确定 𝑓′(𝑥)有零点时 𝑓(𝑥)的 单调性, 则需对 𝑓′(𝑥)的表达式作进一步变形,即 𝑓′(𝑥) = 𝑎𝑥 − 1(𝑥+1)2 = 𝑎𝑥2+(2𝑎−1)𝑥+𝑎𝑥(𝑥+1)2 = 𝑎(𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥2)𝑥(𝑥+1)2 , 其中 𝑥1 = 1−2𝑎−√1−4𝑎2𝑎 , 𝑥2 = 1−2𝑎+√1−4𝑎2𝑎 . 3.求导后参数混合型 ( 无限制条件下的直接因式分解型 ): 如 𝑓(𝑥) = (𝑥 −2)e𝑥 +𝑎(𝑥 −1)2, 𝑓′(𝑥) = (𝑥 −1)(𝑒𝑥 +2𝑎),由 后一个因式有无零点 得讨论标准 0,及有零点 ln(−2𝑎)时 与 1 的大小关系 得讨论标准 −e2. 4.求导后参数混合型 ( 有限制条件下的间接 因式分解型 ): 如 𝑓(𝑥) = 𝑎ln𝑥 − 𝑥𝑥+1, 𝑓′(𝑥) = 𝑎𝑥 − 1(𝑥+1)2 = 𝑎𝑥2+(2𝑎−1)𝑥+𝑎𝑥(𝑥+1)2 (𝑥 0),分两类讨论: ( 1) 𝑎 ≤ 0及 ∆≤ 0( 对应 𝑓′(𝑥) ≤ 0), 【一靠观察二靠 变形计算】,( 2)在( 1) 中参数取值范围的补集下, 进行因式分解,并 确认 此时 𝑓(𝑥)的单调性 . 5.定义域人为限制型: 如 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 −(2𝑎 −1)𝑥 −ln𝑥 −2, 𝑥 ∈ ,1, 4-, 𝑓′(𝑥) = 2𝑎𝑥 −(2𝑎 −1)− 1𝑥 = 2𝑎𝑥2−(2𝑎−1)𝑥−1𝑥 = (2𝑎𝑥+1)(𝑥−1)𝑥 ,考虑 端点是极值点: − 12𝑎 = 1 ⇒ 𝑎 = −12, − 12𝑎 = 4 ⇒ 𝑎 = −18, 讨论标准为 −12 ,−18。 z 的几何意义: z 是直线 ax+ by- z= 0 在 x 轴上截距的 a 倍, 在 y 轴上截距的 b 倍 . z 的几何意义: 过可行域内一点( 𝑥,𝑦) 向直线 𝑥 = 𝑎, 𝑦 = 𝑏作 垂线,它们围成的矩形 面积 =|𝑧| 不等式 不等式的性质 简单的线性规划 基本不等式 𝑎+𝑏 2 ≥ √𝑎𝑏 借助二次函数的图象 三个二次的关系 可行域 目标函数 z= ax+ by: 构造截距 z= 𝑦−𝑏𝑥−𝑎:构造斜率 z= (x- a)2+ (y- b)2:构造距离 应用题 最值问题 变形 和定值,积最大;积定值,和最小 应用时注意:一正二定三相等 2𝑎𝑏 𝑎+𝑏 ≤ √𝑎𝑏 ≤ 𝑎+𝑏 2 ≤ √ 𝑎2+𝑏2 2 z= (x-a)(y-b):构造 面积 比较大小:比较法 绝对值三角不等式 |𝑎|−|𝑏| ≤ |𝑎 ±𝑏| ≤ |𝑎|+|𝑏|(常用于求最值) 柯西不等式 (𝑎2 +𝑏2)( 𝑐2 +𝑑2)≥ (𝑎𝑐 +𝑏𝑑)2, 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐时等号成立 一元二次不等式及其解法 解绝对值不等式 ①零点分段讨论法;②绝对值几何意义;③函数图象法 |𝑥 −𝑎|+|𝑥 −𝑏| ≥ 𝑐(𝑐0)和 |𝑥 −𝑎|+|𝑥 −𝑏| ≤ 𝑐(𝑐0) 不等式证明方法 比较法、综合法、分析法、放缩法、 构造法、换元法、反证法、数学归纳法 8 第五 部分 解析几何 、坐标系与参数方程 相离 、 外切 𝑑 = 𝑅 +𝑟、 相交 、 内切 𝑑 = 𝑅 −𝑟、 包含 .( 𝑅 ≥ 𝑟)) 两圆的位置关系 圆的方程 相离 < 0,或 d> r = 0,或 d= r > 0,或 d< r 弦长公式 |𝐴𝐵| = 2√𝑅2 −𝑑2 圆的标准方程: (𝑥- 𝑎)2+ (𝑦- 𝑏)2= 𝑟2(𝑟 0) 圆的一般方程: 𝑥2 +𝑦2 +𝐷𝑥 +𝐸𝑦 +𝐹 = 0 直线与圆的位置关系 阿波罗尼斯圆:满足 |𝑃𝐴| = 𝜆|𝑃𝐵|(𝜆 ≠ 1)的 𝑃点的轨迹 相交 相切 与圆有关的几个最值状态你掌握了吗? 倾斜角和斜率 直线的方程 位置关系 直线方程的形式 斜率公式、倾斜角的变化与斜率的变化 :𝑘 = tan𝛼, 𝑘 = 𝑦2−𝑦1𝑥 2−𝑥1 重合 平行 相交 垂直 A1B2- A2B1= 0, C1B2- C2B1= 0 A1B2- A2B1≠ 0 A1A2+ B1B2= 0 点斜式: y- y0= k(x- x0) 斜截式: y= kx+ b 两点式: 𝑦−𝑦1𝑦 2−𝑦1 = 𝑥−𝑥1𝑥 2−𝑥1 截距式: 𝑥𝑎 + 𝑦𝑏 = 1 一般式: Ax+ By+ C= 0 注意各种形式的转化和运用范围 . 两直线的交点 距离 两点 间的距离公式 |𝑃1𝑃2| = √(𝑥1 −𝑥2) 2 +(𝑦1 −𝑦2)2. 点到线的距离: 𝑑 = |𝐴𝑥0+𝐵𝑦0+𝐶|√𝐴2+𝐵2 ,平行线间距离: 𝑑 = |𝐶2−𝐶1|√𝐴2+𝐵2 截距 注意:截距可正、 可负,也可为 0. A1B2- A2B1= 0, C1B2- C2B1≠ 0 平行: 𝑘1 = 𝑘2, 𝑏1 ≠ 𝑏2 垂直: 𝑘1 ∙𝑘2 = −1 𝑙1:𝐴1𝑥 +𝐵1𝑦 +𝐶1 = 0. 𝑙2:𝐴2𝑥 +𝐵2𝑦 +𝐶2 = 0. 𝑙1:𝑦 = 𝑘1𝑥 +𝑏1. 𝑙2:𝑦 = 𝑘2𝑥 +𝑏2. 对称性问题 中心对称 轴对称 点 (x1, y1) ───────→ 关于点 (a, b)对称 点 (2a- x1, 2b- y1) 曲线 f (x, y)=0 ───────→ 关于点 (a, b)对称 曲线 f (2a- x, 2b- y)=0 { 𝐴∙ 𝑥1+𝑥22 +𝐵∙𝑦1+𝑦22 +𝐶= 0 𝑦2−𝑦1 𝑥2−𝑥1 ∙.− 𝐴 𝐵/ =−1 特殊对称轴 x± y+ C= 0 直接代入法 点 (x1, y1)与点 (x2, y2)关于 直线 Ax+ By+ C= 0 对称 曲线与方程 轨迹方程的求法:直接法、定义法、相关点法 圆锥曲线 椭圆 双曲线 抛物线 定义及标准方程 性质 范围、对称性、顶点、焦点、长轴(实轴)、短轴(虚轴)、 渐近线(双曲线)、准线(只要求抛物线)、通径 离心率: 𝑒 = 𝑐𝑎 = √1±.𝑏𝑎/2. 抛物线 𝑦2 = 2𝑝𝑥的焦半径公式 : |𝑃𝐹| = 𝑥0 + 𝑝2 = 𝑝1±cos𝜃 直线与圆锥曲线的位置关系 相交时韦达定理法 , 相切时判别式法 . 9 ⑴ 直线与平面平行的判定定理 : 平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行 , 则该直线与此平面平行 . ⑵ 直线与平面平行的性质定理 : 一条直线与一个平面平行 , 则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 . ⑶ 平面与平面平行的判定定理 : 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行 , 则这两个平面平行 . ⑷ 平面与平面平行的性质定理 : 如果两个平行平面同时和第三个平面相交 , 那么它们的交线平行 . ⑸ 直线与平面垂直的判定定理 : 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直 . ⑹ 直线与平面垂直的性质定理 : 如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行 . ⑺平面 与平面垂直的判定定理 : 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直 . ⑻ 平面与平面垂直的性质定理 : 如果两个平面互相垂直,则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 . 椭圆、双曲线 中 的垂径定理 (又称椭圆、双曲线的第三定义). 圆的垂径定理 (如图 1); 直径与端点处的切线垂直 (如图 2); 直径所对的圆周角是直角 (如图 3); 它们都含有斜率之积 𝑘1𝑘2 = −1这个关系 。 推广到椭圆、双曲线中 若焦点在 𝑥轴上 ,则斜率之积为 𝑒2 −1. 若 焦点在 𝑦轴上 ,则斜率之积为 1𝑒2−1. 说明:结论可用点差法证明。 𝑂 𝐶 𝐴 𝑂 𝐶 𝐵 𝐴 𝐷 𝐷 𝐵 图 2 𝑂 𝐶 𝐴 𝑂 𝐶 𝐵 𝐴 𝐷 𝐷 𝐵 𝑃 𝑃 图 1 𝑂 𝐶 𝐴 𝐵 𝑂 𝐶 𝐵 𝐴 图 3 弦长公式(两点间的距离公式) ① |𝐴𝐵| = √(𝑥1 −𝑥2)2 +(𝑦1 −𝑦2)2 = √1+𝑘2|𝑥1 −𝑥2| = √1+𝑘2√(𝑥1 +𝑥2)2 −4𝑥1𝑥2 = √1+𝑘2 √∆|𝑎|; ② |𝐴𝐵| = √(𝑥1 −𝑥2)2 +(𝑦1 −𝑦2)2 = √1+.1𝑘/2|𝑦1 −𝑦2| = √1+.1𝑘/2√(𝑦1 +𝑦2)2 −4𝑦1𝑦2 = √1+.1𝑘/2 √∆|𝑎|. 伸缩变换 𝜑: {𝑥 ′ = 𝜆𝑥, (𝜆 0), 𝑦′ = 𝜇𝑦, (𝜇 0). 极坐标系 直 角坐标与极坐标互化: ① {𝑥 = 𝜌cos𝜃𝑦 = 𝜌sin𝜃, ② {𝜌 2 = 𝑥2 +𝑦2 tan𝜃= 𝑦𝑥(𝑥 ≠ 0). ⑴ |𝑃1𝑃2| = √𝜌12 +𝜌22 −2𝜌1 𝜌2cos(𝜃2 −𝜃1); ⑵ 𝑆∆𝑃1𝑂𝑃2 = 12|𝜌1𝜌2 sin(𝜃2 −𝜃1)|. 𝑃𝑖(𝜌𝑖, 𝜃𝑖), 𝑖 = 1, 2 参数方程 椭圆: {𝑥 = 𝑎cos𝜑,𝑦 = 𝑏sin𝜑. (𝜑 为参数 ) 直线 : {𝑥 = 𝑥0 +𝑡cos𝛼,𝑦 = 𝑦 0 +𝑡sin𝛼. (𝑡为参数 ) {𝑥 = 𝑓(𝑡),𝑦 = g(𝑡). (𝑡为参数 ) 常见曲线的参数方程 坐标系 圆 : {𝑥 = 𝑎 +𝑟cos𝜃,𝑦 = 𝑏 +𝑟sin𝜃. (θ 为参数 ) 直线 : {𝑥 = 𝑥0 +𝑎𝑡,𝑦 = 𝑦 0 +𝑏𝑡. (𝑡为参数 )→ { 𝑥 = 𝑥0 ± |𝑎|√𝑎2+𝑏2 𝑡, 𝑦 = 𝑦0 + |𝑏|√𝑎2+𝑏2 𝑡. (𝑡为参数 , 𝑎𝑏的符号确定 ±,即正“ +”负“ −” ) 10 第六 部分 立体几何 异面直线所成的角 直线与平面所成的角 二面角的平面角 范围: (0, 90] 范围: [0, 90] 范围: (0, 180) 点到面的距离 直线与平面的距离 平行平面之间的距离 相互之间的转化 cos𝜃= |𝑎⃗ ∙𝑏⃗ ||𝑎⃗ ||𝑏⃗ | sin𝜃= |𝑎⃗ ∙𝑛⃗ ||𝑎⃗ ||𝑛⃗ | cos𝜃= 𝑛1⃗⃗⃗⃗ ∙𝑛2⃗⃗⃗⃗ |𝑛 1⃗⃗⃗⃗ ||𝑛2⃗⃗⃗⃗ | 𝑑 = |𝑎⃗ ∙𝑛⃗ ||𝑛⃗ | 空 间 向 量 空 间 直 角 坐 标 系 空间的距离 空间的角 空间向量基本定理 : 𝒑= 𝑥𝒂+ 𝑦𝒃+ 𝑧𝒄, 其中 { 𝒂, 𝒃, 𝒄}为 空间的一个基底. 若 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑥𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑦𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑧𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑥 +𝑦 +𝑧 = 1), P, A, B, C 四点共面 . 点与线 空间点、 线、面的 位置关系 点在直线上,或点在直线外, ∈或 ∉ 点与面 点在平面内,或点在平面外, ∈或 ∉ 线与线 共面直线 异面直线 没有公共点 只有一个公共点 线与面 平行 𝑙//𝛼 相交 𝑙 ∩𝛼 = 𝑂 只有一个公共点 没有公共点 直线在平面外 直线在平面内 𝑙 ⊂ 𝛼 面与面 平行 𝛼//𝛽 相交 𝛼 ∩𝛽 = 𝑙 垂直关系的 相互转化 证明 平行关系的 相互转化 线线 平行 线面 平行 面面 平行 线线 垂直 线面 垂直 面面 垂直 无数个公共点 没有公共点 相交 𝑙 ∩𝑚 = 𝑂 平行 𝑙//𝑚 综合法、基底法、坐标法 空间几何体 柱体 棱柱 圆柱 设 𝑙1, 𝑙2分别经过圆心 𝑂1, 𝑂2, 且 𝑙1 ⊥圆面 𝑂1, 𝑙2 ⊥圆面 𝑂2, 则 𝑙1与 𝑙2的交点 𝑂为球心 . 台体 棱台 圆台 锥体 棱锥 圆锥 球 直观图(斜二测画法): 𝑆 = 2√2𝑆′ 侧面积、表面积 三视图: 长对正、高平齐、宽相等 根据 三视图还原几何体的步骤 1.选一个视图扩充成几何体 (通常为直棱柱) ; 2.对照三 个 视图 对该几何体进行 删点 、 补点,再连线 成体 . 柱体: 𝑉 = 𝑆ℎ 体积 结构特征 台体 : 𝑉 = 13(𝑆+𝑆′ +√𝑆𝑆′)ℎ 锥体: 𝑉 = 13𝑆ℎ 球 : 𝑉 = 43𝜋𝑅3 外接球球心的定位 11 第七 部分 统计与概率 统计 随机抽样 抽签法 随机数表法 简单随机抽样 系统抽样 分层抽样 共同特点:抽样过程 中每个个体被抽到的 可能性(概率)相等 用样本估计总体 样本数字特征 估计总体 众数、中位数、平均数 𝑥̅ 期望、方差 𝑠2、标准差 𝑠 变量间的相关关系 两个变量的 线性相关 回归直线 𝑦̂ = 𝑏̂𝑥 +𝑎̂过 样本中心点 (𝑥̅,𝑦̅) 正态分布: 𝑋~𝑁(𝜇,𝜍2), 𝜇 = 𝐸(𝑋), 𝜍2 = 𝐷(𝑋);对称轴 𝑥 = 𝜇; 3𝜍原则 列联表( 2× 2)独立性分析、等高条形图 散点图 样本频率分布 估计总体 二项分布: 𝑋~(𝑛,𝑝) 总体密度曲线 茎叶图 正态分布: 𝑋~𝑁(𝜇,𝜍2) 频率分布表和频率分
展开阅读全文
相关资源
相关搜索
资源标签

Copyright©2018-2020   kdwk.com版权所有

注:本站为文档C2C模式,即用户上传的文档直接给用户下载,本站只是网络空间存储中间服务平台,仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理;对上载内容本身不做任何修改或编辑,本站所有文档下载所得的积分归上传人(含作者)所有。若文档所含内容侵犯了您的权益,请立即联系我们QQ:858022898,我们立即予以删除。